Никак. В одном из заданий Шестой главы Падающий Дождь делает Артуру лекарство, которое может унять кашель. Эта штука помогает снизить негативный эффект от симптомов, как и всевозможные амулеты.
Впрочем, с туберкулезом Артур может жить очень долго. Для того, чтобы продлевать ему жизнь, достаточно просто не заканчивать шестую главу. Вы можете перевезти банду в место ее последней стоянки под Аннесбергом, чтобы лагерь нормально работал, а дальше просто заняться фриплеем. Не проходите миссию "Визи вежливости" и просто гоняйте по карте.
Да, исследовать Нью Остин с Артуром будет невозможно (хотя есть способ), но от туберкулеза он не умрет до последней миссии шестой главы.
Столько спойлеров словил)
Это сценарная задумка, повлиять на которую невозможно. В принципе это оправдано, т.к. на той стадии он даже сейчас почти не лечится, не говоря о 1899 году. Хотя в целом это не проблема, герой будет болеть, но не умрет просто так ибо в сценарий это не вписывается :)