Докажите, что пустое множество является подмножеством любого множества.

От противного -- отличный прием.

Предположим противное -- что существует множество А, для которого пустое множество не является подмножеством. Это значит, что в пустом множестве имеется элемент, не принадлежащий А. Противоречие, ведь в пустом множестве нет ни одного элемента.

Значит, такого множества А не существует, и пустое множество является подмножеством любого множества

Пусть дано множество. Что Вы хотите доказать? — Утверждение о том, что любой элемент пустого множества является элементом данного.

Пусть это не так. Напишите, что это значит. Это верно? — Очевидно, нет (понятно почему?). Значит, верно исходное утверждение.

Подробно — в ответе Надежды Шиховой.

Математика стремится избегать так называемых "абсолютных" вопросов. Надо прежде всего уточнить все термины, употреблённые в этом вопросе - пустое множество, "любое" множество, подмножество, доказательство, наконец. Обычно пустое множество вводится по определению или по условию, что оно - подмножество любого множества данной теории, и это никакого доказательства не требует

Для ответа на этот вопрос нужно сообщить набор аксиом, в рамках которых нужно отвечать.