Школьная математика определяет прямую, как множество точек. Но как сумма нулей может стать бесконечностью?

Если вы говорите о том, что длина прямой бесконечна, но при этом она состоит из точек с нулевой длиной, то здесь ошибка в том, что здесь нельзя описать общую длину как сумму в привычном смысле, потому что сумма обычно идет по конечному или счетному набору. А в прямой находится целый континуум точек и длина пряиой - это интеграл, а не сумма.

Потому что на прямой несчетное число точек. Иными словами, прямая и счетный набор точек не соизмеримы. Здесь нет никакого противоречия, просто Вы неверно используете понятие "суммы". 

Множество состоит из элементов. Если предположить, что прямая (плоскость, объём) состоит из точек, то легко из точек прямой соорудить квадрат, куб, килограмм, секунду, пирожок с повидлом. Однако, такие акты творения незаконны. Точка нульмерна и одномерный отрезок из точек не соорудишь, а то, что здесь пишут "знатоки" следствие косяков Кантора. Не обращайте внимания.