A(1):=1
A(2):=1+2
A(n):=1+2+..+n
A(n) - арифметическая прогрессия.
A(n)=n*(n+1)/2 - по сути, это площадь треугольника.
Из двух треугольников можно получить квадрат:
n^2 = A(n)+A(n-1)
S(n):=A(1)+A(2)+…+A(n) -площадь треугольников, тогда площадь n квадратов равна сумме площадей треугольников:
1^2 + 2^2 +…+ n^2 = S(n) + S(n-1)
n^2 * n = ( A(n)+A(n-1) ) * ( A(n)-A(n-1) ), тогда объем куба равен разнице площадей двух квадратов:
n^3 = A(n)^2 - A(n-1)^2 ,
тогда объем n кубов равен площади арифметической прогрессии:
1^3 + 2^3 +…+ n^3 = A(n)^2