Если x^(x^(x^(...)))=2 то x^2=2 что означает x=√2. Почему при этой методике ответ x^(x^(x^(...)))=4 также равен x=√2?

Да, совсем забыл список статей к ответу приложить. Вот. 

Moroni, Luca. "The strange properties of the infinite power tower." arXiv preprint arXiv:1908.05559 (2019). Url1: https://arxiv.org/pdf/1908.05559.pdf Url2: https://www.lucamoroni.it/the-strange-properties-of-the-infinite-power-tower/

Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. "Power Tower." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

Vassilev-Missana, Mladen. "Some results on infinite power towers." Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 16.3 (2010): 18-24. Url: https://nntdm.net/volume-16-2010/number-3/18-24/

Lynch, Peter. "The fractal boundary of the power tower function." Recreational Mathematics Colloqium V, Lisbon, Portugal, 28-31 January 2017. Associacao Ludus, 2017. Url: https://maths.ucd.ie/~plynch/Publications/Publications.html

Toledo, F.J. On the convergence of infinite towers of powers and logarithms for general initial data: applications to Lambert W function sequences. Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat. 116, 71 (2022). https://doi.org/10.1007/s13398-022-01213-9 URL: https://rdcu.be/cU3ft

Потому что решение начинается с "предположим что такое равенство выполняется…". Во втором случае оно ложно, а из лжи следует все что угодно

Полное решение состоит не только в нахождении икса, но и в доказательстве того, что при таком икс все сойдется к тому что нужно. Во втором случае это не выполняется