Господин Державец в рамках им же заданного предварительно вопроса рассмотрел задачу из теории вычетов ТФКП = теории функций одного комплексного переменного.
**Формулировка** такова: сколько корней многочлена 7-й степени
z^7 - 5 •z^3 + 1
заключены в открытом кольце без края (из двух ограничивающих окружностей | z | = 1 и | z | = 2, соответственно), то есть в точечном множестве комплексной плоскости
1 < | z | < 2 ?
Разумеется, по известному принципу и согласно так называемой "основной теореме алгебры многочленов с вообще говоря комплексными коэффициентами" каждый корень вносит в общее число (корней) такой именно вклад, какова его кратность (вхождения в оак называемое гауссово разложение или, что то же самое, в гауссову нормальную факторизацию - разложение многочлена на линейные множители в комплексном поле коэффициентов).
Всё это общеизвестные из алгебры сведения, сгруппированные для дальнейшего.
**Ответ**: в указанном кольце число корней вышеуказанного полинома равно в точности 4.
**Доказательство** состсоит из нескольких частей. Будем по Понтрягину нумеровать заглавными латинскими буквами.
А. Предварительно представим наше тосечное кольцо в комплексной плоскости теоретико-множественной (булевской) разностью. А именно разностю между внешним открытым кругом
| z | < 2
и внутренним замкнутым (содержащим граничную окружность, что весьма важно в дальнейшем) кругом
| z | ≤ 1.
**Теорема Руше** будет далее применена **по-разному** и в "умньшаемом" множестве, и в "вычитаемом".
В. Покажем что на ограничивающией внешний круг (уменьшаемый то бишь - Л.К.) окружности
| z | = 2 имеет место требуемое по теореме Руше неравенство (мы даже усиливаем справа модуль разности суммой модулей):
| z |^7 ≥ 5 | z |^3 + 1.
Действительно, поскольку
2^4 = 16; 2^5 = 32; 2^6 = 64; 2^7 = 128, то подставляя численные данные, обедимся, что
128 > 41, что нам и требовалось.
**Вывод:** в указанном открытом круге лежит ровно 7 корней нашего **исходного полинома** (предложенного к анализу первоначалтно господином Державецом). Поскольку выполнены условия теорему Руше (список литературы будет по возможности выложен ниже).
С. Аналогично покажем ,что на окружности
| z | = 1
имеет место по Руше неравенство
5 • | z |^3 > | z |^7 + 1 ≥ 2.
Правая половина "двойного неравества" очевидна.
Численная подстановка даёт как и выше справедливое неравенство:
5 • 1 > 1 • 1 + 1 = 2.
**Вывод:** внутри замкнутого круга
| z | ≤ 1
находятся ровно 3 корня нашего исходного полинома.
D. Осталось показать отсутствие корней на граничной окружности
| z | = 1.
И действительно, поскольку модуль разности не меньше по модулю разности модулей, то мы имеем, что прямо из вышесказанного вытекает неравенство:
| 5 • z^3 - ( z ^7 + 1)| ≥ | | 5z^3| - | z^7 + 1||,
И нам, таким образом (ср. так же выше в предыдущем разделе С.) достаточно показать, что если | z | ≤ 1, то выполнено
|( z^7 + 1)| ≤ 2.
Положим для удобства t : = z ^7.
Имеем | t | ≤ 1 при | z | ≤ 1.
Наша задача показать, что
| t - (-1)| ≤ 2.
Это видно геометрически, но возможно вывести и алгебраически основными свойствами тригонометрических зависмостей.
Поскольку у меня отсутствует на клавиатуре греческий алфавит, условный аргумент обозначу через phi, что значим "фи" по русски. Или, что проще сращу боквой "ф" русского алфавита.
Имеем последовательно и стандартно:
1 + cos ф + i • sin ф =
= cos^2 (ф/2) + sin^2 (ф/2) + cos^2 (ф/2) - sin^2 (ф/2) + i • 2 sin (ф/2) cos (ф/2) =
= 2 cos^2 (ф/2) + 2 • cos (ф/2) • sin (ф/2) = 2 cos (ф/2) [ cos (ф/2) + i sin (ф/2)] =
= 2 cos (ф/2) • exp (i • ф/2) ≤ по модулю, чем 2 • 1 •1 = 2,
при этом ф -действительное число.
Осталось нам положить в принятых переименованиях
t : = cos ф + i sin ф,
чтобы получит требуемое неравенство и как следствие
**Вывод** об отсутствии корней на указанной единичной окружности | z | = 1, что и завершает исследование корней стандартными аналитическими средствами.
См. **Ответ** выше. Искомое число корней в кольце есть 4.
Предварительный набросок сделан 19 - 20.02.2023.
Л.К.
Литература: Лекции Адольфа Гурвица; книжка Марата Андреевича Евграфова по аналитическим функциям.
Спасибо госп. Державецу за любопытный, пусть и достаточно стандартный пример.
К.