Как без применения компьютерных программ доказать,что 100!+1 не является квадратом целого числа?

Как обычно, от противного. Предположите, что является, и приходите к противоречию. При этом, можно остаться как в дискретной форме: 

100
Π k
k=0

Так и для гамма-функции: Γ (100 + 1) + 1. 

Доказать от противного можно по-разному и в обоих случаях. Расписывать доказательство подробно не буду, но некоторые рекомендации могу дать. Дерзайте и у вас получится. 

100  не является квадратом целого числа 10, т.к сложено одинаковыми цифрами 10, а целое число 10* = 55, размножено сложением и его квадрат 110, если прибавить один, целое число не получится

Доказательство простое. Что такое 100!. Это число, у которого в конце много нолей. Прибавили 1. Значит, стало число вида  …00001. Квадратный корень из такого числа должен иметь последнюю цифру 9 или 1. Но две последние цифры 09, 19,29 и т.д. никак не дают второй ноль.Дают 49 и 99. Теперь анализируем когда получается третий ноль и т.д.