Упражнение это я видел в книге Р.Н. Гумерова (2007 год), но если вы его встречали где-то раньше, можно указать источник. Свои мысли у меня, конечно, есть, но было бы интересно послушать не свои.
На обложке, кстати, тоже неплохое упражнение.
Скорее всего, доказывать нужно от обратного. Пусть у бесконечномерного полного нормированного пространства счетная алгебраическая размерность (то есть счетный базис Гамеля). Тогда любой вектор в ней представим в виде элемента из пространства последовательностей Λ^N, где (Λ - поле). Я думаю, что автор все же имел в виду, что Λ либо R, либо C, но возможно думать и над общим случаем.
Теперь в соответствии с тем, что мы можем представить вектор как последовательность (причем с конечным числом ненулевых a и бесконечным числом нулей в ней)
(a0, a1, a2, .... an, ....0, 0, 0).
Это в действительности как векторное пространство должно соответствовать векторному пространству полиномов P(Λ), единственное, что неизвестно с какой нормой.
Здесь явный пропуск пока, потому что надо подумать, почему норма не важна, но дальше, очевидно, что P(Λ) не является полным пространством, поскольку пределами могут служить хотя бы аналитические функции, не говоря уже о теореме Вейрештрасса в случае равномерной топологии функций на отрезке.