Концепция нуля состоит в том, чтобы этим числом характеризовать пустые множества, т. е. те множества, которые не содержат никаких элементов.
Свойства нуля регламентируются аксиомами, которые задают множества тех или иных чисел. Например в аксиоматике действительных числе, число «ноль» задается как то действительное число, которое при сложении с любым другим действительным числом равно этому же числу и сумма действительного числа с ему противоположным равна нулю. В аксиомах натуральных чисел (аксиоматика Пеано) свойства нуля являются следствиями этих аксиом и определений. В теории множеств, ноль можно определить как пустое множество (натуральные числа по фон Нейману). Также существуют и другие системы, в которых вводится число 0.
Также, как это было отмечено в ответе [1] к этому вопросу, бывают разные нули. Бывает нулевой вектор (нуль-вектор), свойства которого задаются в аксиомах линейного пространства. Есть обобщение нуля, которое вводится в общей алгебре, а именно в теории групп. Здесь «ноль» уже называется «нейтральным элементом» (некоторого непустого множества). Если элементы этого множества образуют группу, то нейтральный элемент будет подчинятся следующим аксиомам: a+0=a (для любого a из данного множества) и a+(–a)=0 (для любого a из данного множества). В теории колец, таких нейтральных элементов уже два: ноль и единица. Здесь ноль уже нейтральный элемент относительно операции сложения, а единица — относительно умножения.
1. https://yandex.ru/q/question/kak_by_vy_obiasnili_s_nulia_kontseptsiiu_e82b4928/?answer_id=4468a544-efa2-4efc-9075-8681593ebecb&utm_medium=share&utm_campaign=answer#4468a544-efa2-4efc-9075-8681593ebecb
Смотря - какого конкретно нуля. В каждой алгебраической системе нули разные, иногда ноль даже и не один. К примеру, в векторном пространстве фигурирует отдельно: нулевой вектор и число ноль.
Все же чаще всего нулем называют элемент, который при сложении с любым - его не изменяет.