Как сегодня в математике проявляется интуиционизм? Это исследования по математической логике или другое?

Интуиционизм — это одно из течений, которое было сформировано в конце 19 века в ответ на проблемы оснований математики. Основным деятелем интуиционизма был голландский философ и математик Ян Брауэр.

Это течение возникло в результате критики классических (неинтуиционистских) математических рассуждений, в которых использовались закон исключённого третьего ( истинно либо A, либо не-A) и понятие актуальной бесконечности (той бесконечности, которая действительно существует как законченный, цельный объект. Ей существует прямая противоположность — потенциальная или конструктивная бесконченость, которая не может представляться как цельный объект, а является становящейся, конструируемой (строящейся).)

Брауэр считал, что закон исключенного третьего можно полноправно подвергнуть сомнению его истинность, а оперирование с понятием актуальной бесконечности выходит за рамки человеческого ума и интуиции. Поэтому он решил пересмотреть классические методы математики при этом утверждая, что никакая наука — в частности, ни философия, ни логика — не может служить предпосылкой для математки.

В результате Брауэр решил, что для математик не остаётся иного источника, кроме интуиции. Поэтому это течение и называется интуиционизмом хотя оно несильно соответсвует содержанию программы этого течения.

Дело в том, что методы, которые были разработа интуиционистами лежали в другой школе математической мысли — школе конструктивизма, но первая и вторая школы имеют много общего, т. к. пользуются одинаковыми методами. Они развиваются как самостоятельно, так и часто дополняют и обогащают друг друга. Поэтому на сегодня нет единого мнения по поводу того, какая школа из какой вышла и является её частью. Одни [1] утверждают, что конструктивизм — часть интуиционизма, а другие [2] — обратное.

Сегодня результаты этого течения таковы, что интуиционисты создали свои [3]: логику (см. «интуиционистская логика»), арифметику (она же теория чисел) (см. «интуиционистская арифметика»), теорию типов («апнутая» теория множеств) (см. «интуиционистская теория типов»), теорию множеств (просто теория множеств, например, её аксиоматический вариант Цермело и Френкеля) (см. «интуиционистская теория множеств»), анализ (у нас (в России и СНГ) — математический анализ) (см. «интуиционистский анализ»).

Если хотите ознакомиться с дополнительными материалами, то можете перейти по ссылкам: [4], [5], [6] и [7].

1. https://rus-math.slovaronline.com/1970-%D0%98%D0%9D%D0%A2%D0%A3%D0%98%D0%A6%D0%98%D0%9E%D0%9D%D0%98%D0%97%D0%9C : «Понимая термин "И." достаточно широко, можно рассматривать конструктивное направление в математике как разновидность И., для к-рого характерно исследование конструктивных объектов и конструктивных процессов алгоритмич. методами.»

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics) : «Constructivism is often identified with intuitionism, although intuitionism is only one constructivist program. Intuitionism maintains that the foundations of mathematics lie in the individual mathematician's intuition, thereby making mathematics into an intrinsically subjective activity. Other forms of constructivism are not based on this viewpoint of intuition, and are compatible with an objective viewpoint on mathematics.»

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism#Branches_of_intuitionistic_mathematics

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism

5. https://plato.stanford.edu/entries/intuitionism

6. https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/

7. https://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics