Все мы видели её по частям, но не представляем целое.
Проективную плоскость трудно представить, потому что эту поверхность невозможно без самопересечений вложить в наше трехмерное пространство. Математики придумали разные модели проективной плоскости, одна из них — проективная сфера. Этот термин — своего рода жаргонизм; проективная сфера не является особым видом сферы, не является множеством точек, равноудаленных от некоторой точки пространства. Между прочим, пытаясь визуализировать проективную сферу, Август Мёбиус и придумал лист имени себя.
Проективную сферу как модель проективной плоскости придумал Риман, решая одну интересную задачу.
Ещё Эйлер доказал, что для любого выпуклого многогранника В-Р+Г=2, где В — число вершин многогранника, Р — число его рёбер, Г — число вершин. Значение В-Р+Г назвали позднее эйлеровой характеристикой многогранника.
Для невыпуклых многогранников она может быть другой. Например, для многогранника с дыркой эйлерова характеристика равна 0.
К XIX веку стало ясно, что Эйлерова характеристика характеризует общее свойство всех выпуклых многогранников — их можно «надуть» до сферы (а многогранник с дыркой нельзя — дырка мешает). В середине XIX века были известны разные поверхности, для которых эйлерова характеристика чётна, но неизвестно было, существует ли поверхность, эйлерова характеристика которой нечётна, например 1. Над этим размышлял и Риман.
Он изучал геометрию на сфере и заметил, что окружности больших кругов играют на сфере ту же роль что прямые на плоскости. (Большой круг — сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.)
И правда, кратчайший путь между двумя точками на плоскости лежит на прямой, а кратчайший путь между двумя точками на сфере лежит на окружности большого круга. В такой сферической геометрии нет параллельных прямых, потому что любые две окружности больших кругов пересекаются в двух точках, диаметрально противоположных. Размышляя над сферической геометрией, Риман решил её «подправить» (и получил другую геометрию). Чтобы любые две «прямые» на сфере пересекались только в одной точке, он «склеил» (отождествил) каждые две диаметрально противоположные точки. Оказалось, что получилась модель проективной плоскости, которую уже давно построил Дезарг. Риман доказал, что для проективной плоскости эйлерова характеристика равна 1. Мы-то сейчас уже привыкли, а в середине XIX века это было удивительное открытие: поверхность с нечётной эйлеровой характеристикой!
И для Римана и для Дезарга проективная плоскость — это такая специальная штука, в которой работает интересная система геометрических преобразований, интересная система аксиом. И Риман и Дезарг понимали, что проективную плоскость невозможно вложить в наше привычное трехмерное пространство, поэтому невозможно представить себе как она выглядит.
Август Мёбиус пытался визуализировать проективную плоскость. Возьмём узкую полоску поверхности сферы возле половинки экватора. Зелёные отрезки должны быть склеены, причем синяя точка с синей, а красная с красной. Узнаёте, что получится? Да, это он — лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса — это вложение куска проективной плоскости в трехмерное пространство. Проективная сфера — это одна из абстрактных моделей проективной плоскости.
А вдруг её нет.
Понятие "сфера" определено для метрических пространств. Поэтому для определения "проективной сферы" необходимо задать метрику в проективном пространстве, содержащем эту фигуру. Какая-либо "каноническая" метрика в таком пространстве отсутствует.
Это сфера у которой отождествлены диаметрально противоположные точки - модель проективного пространства PR^3. Проективное пространство это пространство в котором точками являются прямые проходящие через начало координат.