Строго говоря, в заголовке следовало написать «Великая гипотеза Ферма» и «Великое доказательство Уайлса», поскольку доказательства Ферма не оставил и теоремой его знаменитое утверждение стало сравнительно недавно. Доказательство Э. Уайлса действительно великое – 130 страниц журнального текста. Сразу признаюсь, что я знаком с ним весьма косвенно, и еще хуже то, что не знаю людей, хотя бы прочитавших доказательство Уайлса.
С уверенностью можно говорить о том, что новые поколения математиков найдут способы сокращения этого длинного доказательства и с той же уверенностью можно полагать, что оно станет менее понятным после таких модификаций. Подобное случалось уже не раз: читавшие оригинальное и длинное доказательство трансцендентности числа П, данное полтора века назад, единодушно говорят, что оно много понятнее современных коротких вариантов.
Короткого «поистине удивительного доказательства», о котором писал Ферма, по общему мнению, не было, нет и не будет. Конечно, это резко контрастирует с исключительной простотой формулировки теоремы, но главная проблема, на мой взгляд, состоит в математическом инструментарии, допустимом для решения простого вопроса элементарной арифметики. Например, сам Уайлс в первых вариантах своего доказательства ссылался на гипотезу больших кардиналов, но потом сумел избежать такой ссылки. Тем не менее, интересно проверить, не используются ли в доказательстве Уайлса (пусть и трижды косвенно) сильные утверждения, подобные, скажем, континуум-гипотезе?
По общему мнению, формального вывода теоремы Ферма из аксиом Пеано, пусть и длинного, не существует. На мой взгляд, решение этой проблемы интереснее и важнее самой Великой теоремы. Ведь если это так (нет вывода), то мы получим «живой пример» гёделевой неполноты арифметики; если же вывод найдется, будет посрамлена чуть ли не вся высшая математика.
Л. Кронекер в своё время сказал: «Бог создал лишь натуральные числа; остальное сделал человек». Если окажется, что некоторые утверждения элементарной арифметики существенно зависят от гипотез теории множеств, существуют «канторова» и «неканторова» теории чисел и т.д., то я бы поправил Кронекера: «Бог создаёт натуральные числа и мы участвуем в этом деле».