Выразить, как раз, можно. Причём, даже в финитной записи. Всякое иррациональное (при условии, что мы все иррациональные считаем вычислимыми) можно представить в виде знакопеременного ряда.
Является ли такая запись "финитной"? Да, является, конечно.
Также для каждого иррационального числа можно записать алгоритм его вычисления.
А вот досчитать алгоритм, формулу или программу до финитного результата уже, увы, нельзя: для получения результата такого алгоритма нужна бесконечная лента, бесконечная память, бесконечный ресурс центрального процессора и бесконечный физиологический ресурс оператора и/или наблюдателя.
И относится это не только к действительным числам, но и ко многим рациональным: досчитать 1/3 или 2/17 до финитного результата тоже нельзя.