Почему в школе говорят, что квадратный корень из отрицательного числа - это грубая ошибка? А потом в ВУЗе вдруг говорят про комплексные?

В начальной школе изучают натуральные числа. Поэтому говорят, что из меньшего числа нельзя вычесть большее. И действительно, нельзя, в том смысле, что натуральный результат не получить. Но потом в 6 классе вводятся целые числа, на которых операция корректна. Это не означает, что в 4 классе вам врали. Это означает, что в 4 классе у вас был другой объект изучения.
Здесь то же самое. С 8 по 11 класс изучаются действительные числа. Действительного числа, квадрат которого был бы равен -1, не существует. Комплексные числа с таким свойством существуют, но это никак не отменяет истинности предыдущего утверждения.

Согласен, что корень из отрицательного числа - не совсем корень. И точно не действительное число. Но зачем же сразу обобщать?

Квадратные корни из отрицательных чисел - всегда чисто мнимые.

А про комплексные числа вдруг говорят для солидности:)

Пугаться не надо! Вам ведь в школе не показывали -1 яблоко?

В школе учат курицы в ВУЗе преподают орлы. Грубая ошибка учиться математике у куриц. В инете полно учебных материалов для самостоятельной работы! Вот только систематизации не хватает. Все к ЕГЭ готовятся.