Существенной разницы, наверное, нет, оба слова имеют отношение к операции сложения. С другой стороны, когда мы прибавляем, мы говорим об слагаемых, которые ещё не добавлены, а те, что уже добавлены, не упоминаются. Когда складываем, с одной стороны, мы можем, а с другой стороны должны упоминать все слагаемые, формирующие сумму.