Смотря что такое повседневная жизнь.
Я вот не тополог - напрямую топологию я как исследователь никогда не изучал - только пользовался плодами.
А изучал я теорию операторов и операторных алгебр (которые принято относить к функциональному анализу, а приложения относить к квантовой физике, включая квантовую механику и квантовую теорию поля) и чуть менее квалифицированно занимаюсь статистикой с временными рядами.
Типов сходимостей даже в нормированных, но бесконечномерных пространствах есть некоторое количество и я бы не был специалистом, если бы не знал сходимостей в терминах фильтраций и направленностей, а также доказательство эквивалентности этих терминологий, или не отличал бы секвенциальную непрерывность от обычной непрерывности. Всё это относится к топологии напрямую.
Так что в моей "математической повседневности" топология вполне себе "повседневна".