Можно ли сделать развертку куба в виде прямоугольника?

Нестрогое. Нельзя.

При развертке без дыр сохраняется полный угол вокруг любой точки исходной поверхности. Он может быть разрезан (уменьшен), но увеличить его нельзя.

Полный угол на гранях и ребрах равен как и положено 360 градусов.

Но полный угол на вершинах равен 270 градусам. Те вершина не может оказаться внутри прямоугольника, потому что вокруг нее не заполнится угол в 360 градусов. 

С этой точки зрения вершину куба можно расположить на границе прямоугольника отрезав 90 градусов или в вершине прямоугольника отрезав 180 градусов. Но вершин в кубе восемь.

Если б так можно было сделать - вы бы перевернули мир полиграфической упаковки (100% НОБЕЛЕВКА). Но, к сожалению, из-за того что это сделать невозможно, до сих пор в типографиях при выпуске упаковок технический отход материалов составляет порой  50% и более, от формата изделия.

Куб- частный случай прямоугольного паралелепипеда, квадрат- частный случай прямоугольника. По сути мы всегда делаем развёртку куба в виде прямоугольника. В виде частного случая. Да, по форме в виде квадрата.