Гипотеза Римана – борьба с бесконечностью

О какой бесконечности идет речь?

Чуть больше 160 лет прошло с выступления Римана в Берлин-Бранденбургской академии наук, когда он высказал предположение о нулях некоторой аналитической функции, которую он вывел из другой аналитической функции, чтобы показать мощь нового аналитического инструмента для исследования в теории чисел.

Собственно, с этого момента начала свою историю аналитическая теория чисел, раздел математики, в котором для доказательства утверждений в теории чисел используется теория функции комплексного переменного.

Бесконечность заключается в бесконечном количестве нулей этой аналитической функции комплексного переменного и бесконечном количестве попыток доказать это предположение.

Лично для меня эта история началась в декабре 2018 года, но я уже чувствую, что она будет бесконечной. Я конечно уже не уделяю этой проблеме столько времени, сколько уделял первые десять месяцев, пока изучал многочисленные детали.

Вот и сейчас у меня есть еще одна идея, которую не плохо было бы проверить и возможно к завершению серии публикации эти результаты уже будут готовы.

В начале у меня был только один вопрос, каким образом образуются нули функции комплексного переменного?

Затем мне начало казаться, что я ухватил удачу за хвост, но погружаясь все глубже и глубже в проблему Дзета функции Римана, я наконец понял, в чем состоит основная проблема, почему так тяжело доказать утверждение о всех нулях функции комплексного переменного.

Если коротко, то проблема состоит в том, что мы понимаем, как в принципе распределяются нули Дзета функции Римана, но ничего не знаем, как они ведут себя там в бесконечности. Другими словами, невозможно сформулировать никакого общего принципа поведения нулей этой функции, поэтому звучат фразы «почти для всех промежутков» или «промежуток содержит не менее» такого-то количества нулей и т.п.

При этом какие бы попытки уменьшить размер промежутка или улучшить показатель количества нулей, на текущий момент математики уверены только в том, что 40% нулей удовлетворяют гипотезе Римана.

Выполнен расчет огромного количества нулей Дзета функции Римана и не найдено ни одного промежутка на котором не выполнялась бы гипотеза Римана, но сколько еще таких промежутков и нулей – бесконечное число.

Поэтому историю попыток доказательства утверждения Римана можно назвать борьбой с бесконечностью.

Но мы не будем бороться с бесконечностью, а просто попробуем понять, в чем заключается гипотеза Римана.

В МГУ читают годичный спецкурс Введение в теорию дзета-функции Римана. Спецкурс посвящен изложению основных фактов теории дзета-функции, являющихся классическими результатами: представление в виде произведения Вейерштрасса, функциональное уравнение, граница нетривиальных нулей дзета-функции, их связь с распределением простых чисел, поведение нулей дзета-функции Римана на критической прямой.

Я предлагаю подойти к проблеме с наглядной стороны.

Мы придем к таким же результатам, которые получены классическим путем, но эти результаты будут понятны, потому что мы увидим, как формируется значение Дзета функции Римана и как формируются ее нули, мы поймем, в чем заключается аналитическое продолжение этой и других функций комплексного переменного.

Теперь вернемся в начало, т.е. к официальному определению гипотезы Римана:

Дзета-функция Римана – функция комплексного переменного, определенная на полуплоскости

абсолютно сходящимся рядом:

и имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.

распространяется на комплексную плоскость как мероморфная функция с простым полюсом при

с вычетом

и удовлетворяет функциональному уравнению:

Таким образом, в терминах

гипотеза Римана:

Все нетривиальные нули

имеют действительную часть, равную

О чем говорит это определение?

1) Дзета функция Римана – функция комплексного переменного;

2)

означает действительную часть комплексного числа;

3) Дзета функция Римана – аналитическое продолжение ряда, которым она задана в правой полуплоскости, т.е. это некоторая функция комплексного переменного совпадающая по значениям с указанным рядом в правой полуплоскости и имеющая свои собственные значения в левой полуплоскости;

4) Мероморфная функция означает, что функция является голоморфной, т.е. всюду имеет производную, а, следовательно, является аналитической, т.е. определяется ее рядом Тейлора, и не имеет никаких особенностей, кроме указанного простого полюса;

5) Удовлетворяет функциональному уравнению, означает, то что большинство ее значений в левой полуплоскости, т.е. при

можно вычислить по значениям в правой полуплоскости, т.е. при

таким образом остается полоса

где функция не определена ни рядом, которым она задана в правой полуплоскости, ни функциональным уравнением, т.к. у нас нет значений

чтобы определить значения

или наоборот;

6) Действительная часть равна

означает, что все нули лежат на прямой

т.е. в той полосе, где Дзета функция Римана не определена ни рядом которым она задана в правой полуплоскости, ни функциональным уравнением, поэтому эта полоса называется критической полосой, а прямая называется критической прямой.

Следует заметить, что функциональное уравнение в определении гипотезы Римана записано в симметричной форме, как это сделал Риман в своем докладе, но для определения значений

его необходимо переписать в виде другого равенства

где

означает гамма-функцию, аналитическое продолжение функции факториала сначала на действительные значения, а затем на всю комплексную плоскость.

Следует заметить, что

и

в этих формулах – это тоже аналитическое продолжение обычных функций косинуса и синуса на комплексную плоскость.

Теперь остается разобраться, что такое комплексные числа и что такое функция комплексного переменного, т.к. мы в большинстве своем привыкли иметь дело с функциями действительных переменных.

Комплексное число – это математический объект или структура, которая определяется парой действительных чисел и специальным знаком

который обозначает

мнимую единицу.

Комплексные числа образуют поле, т.е. любая операция с комплексными числами не расширяет множество комплексных чисел, которое в свою очередь являются алгебраическим замыканием поля действительных чисел, т.е. комплексные числа появляются как корни неприводимых над полем действительных чисел многочленов.

Неприводимый над полем действительных чисел многочлен обозначает, многочлен, который не имеет действительных корней.

Например, многочлен

неприводим над полем действительных чисел, но приводим над полем комплексных чисел, т.е. имеет два комплексных корня.

Существует несколько форм записи комплексных чисел:

Алгебраическая

или

в теории Дзета функции Римана принята запись

Тригонометрическая

Показательная

Показательная из тригонометрической и наоборот получается с помощью формулы Эйлера

Формула Эйлера легко получается из формальных рядов указанных функций при подстановке в ряд экспоненты мнимой единицы

где

И наконец комплексные числа имеют геометрическое представление

или

т.е. комплексное число на плоскости представляется точкой или отрезком.

На комплексных функциях мы не будем останавливаться, т.к. это предмет комплексного анализа, а мы будем заниматься в основном геометрическим анализом ряда, которым Дзета функция Римана задана в правой полуплоскости

При этом анализ функции

будет приятным геометрическим бонусом.

Подведем предварительные итоги и определим методы и задачи геометрического анализа.

Мы поняли, что Дзета функция Римана – функция комплексного переменного, которая является аналитическим продолжением и удовлетворяет функциональному уравнению, в котором используются сложные для воображения комбинации функций комплексного переменного.

В итоге, кажется, что на этом можно остановить всякое дальнейшее изучение гипотезы Римана, т.к. ничего не понятно.

Но у нас есть мощный графический инструмент, который поможет понять, как формируется значение Дзета функции Римана не только там, где ряд, которым она определена сходится, но и там, где этот же ряд расходится, т.е. мы будем в состоянии понять, в чем заключается аналитическое продолжение Дзета функции Римана, что означает ее функциональное уравнение, как формируются нули и почему они обязательно должны быть на критической прямой.

Давайте воспользуемся представлением комплексных чисел отрезками на плоскости и разберемся, какую задачу поставили математики этим определением гипотезы Римана.

Давайте почувствуем эту функцию комплексного переменного до такой степени, чтобы с уверенностью сказать, в чем конкретно заключается сложность гипотезы Римана.

PS

Спасибо Надежде за возможность выступить среди любителей решать математические головоломки.

Надеюсь будет интересно окунуться в сложную, но интересную задачу.