Существует ли шестиугольник, у которого никакие диагонали не пересекаются?

Звезда годится?

Я думаю в условии есть неточность-не пересекается, это значит, что допускается пересечение в вершине. В противном случае решение простое. и ответ-существует.

Примем за основу следующее Определение: Многоугольник –ограниченная область на плоскости, граница которой состоит из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Для выпуклого шестиугольника очевидно существуют пересекающиеся диагонали.

Если шестиугольник невыпуклый, то рассмотрим выпуклую оболочку его вершин. Варианты:

1. Выпуклая оболочка-это пятиугольник, шестая вершина-внутри. Очевидно, что выпуклый пятиугольник имеет пять пересекающихся диагоналей, а внутренняя точка одна. Так что пересекающихся диагоналей "выше крыши".
2. Выпуклая оболочка-четырехугольник, тогда внутри две точки.

у четырехугольника диагонали пересекаются в одной точке, поэтому одна из двух внутренних вершин не лежит на пересечении диагоналей четырехугольника, и на самих диагоналях. Вот диагонали, "приходящие" к этой точке из вершин четырех угольника, как раз и пересекут по крайней мере две диагонали этого самого четырехугольника.

1. Выпуклая оболочка-треугольник-внутри три вершины.Возьмем одну из внутренних вершин и соединим с вершинами треугольника, который в этом случае разбивается на три. Так вот, следующая внутренняя вершина лежит в одном из трех получившихся треугольников и попытка соединить ее с вершинами исходного треугольника неминуемо приводит к пересечению с одной из образованных диагоналей. а поскольку в этой точке пересечения третья внутренняя вершина находиться не может(смежные стороны не лежат на одной прямой), то и этот случай невозможен.

Ответ: такой шестиугольник не существует. А вот пятиугольник существует.