Если совсем кратко, то ввиду очень тесной связи космической отрасли с военно-промышленным комплексом (ВПК), от развития которого зависело достижение стратегического паритета вооружений между СССР и США, т.е. космическая программа напрямую влияла на техническое превосходство одной из сверхдержав в военной сфере.
Развернутое разъяснение: вывод физических объектов (спутники, станции и пр.) и человека на околоземную орбиту по сути можно считать побочным явлением развития советской ракетной программы. Она, в свою очередь, базировалась на немецких разработках (небезызвестные ФАУ-2 и пр. агрегаты) и советских доработках, и военные видели в ракетах исключительно потенциал доставки взрывчатых и ядерных веществ на территорию противника. Ракета, которая могла бы набрать достаточную высоту и скорость, недоступную для самолетов и ПВО противника, дала бы решающее преимущество в потенциальном конфликте СССР и США. Аналогичные работы велись и американскими учеными все с теми же целями и с тем же привлечением немецкого опыта в ракетостроении.
Спасибо стоит сказать научному энтузиазму С. Королева, В. фон Брауна и др. конструкторов космических аппаратов, увидевших в ракетах потенциал вырваться за пределы атмосферы и начало изучения космического пространства. Параллельно с выполнением заказов военных, они медленно но верно продвигали идею мирного исследования космоса, запуск спутников, животных и даже человека. Это объясняет, почему для запуска в 1957 году того же советского спутника использовалась ракета Р-7 - предыдущие прототипы обкатывались для военных нужд.
Кстати, сам по себе первый искусственный спутник представлял из себя просто радиопередатчик с закольцованным сигналом, который облетая Землю по орбите, вводил в экстаз радиолюбителей всего мира. В культурном и научном плане освоение космоса вызвало небывалый энтузиазм, разговоры о межпланетных путешествиях и космическом будущем человечества. У военных же это не вызвало ничего кроме беспокойства: сегодня запустили спутник, а завтра выведут в космос десантников/ракеты/систему слежки за населением. Эти размышления запустили финансирование отдельного направления развития в космической отрасли.
Не стоит сбрасывать со счетов и чистый имиджевый эффект для любой страны, успешно осваивающей космос. Это свидетельство технического превосходства и опережающего развития. К примеру, тот же Юрий Гагарин после своего приземления был самым популярным человеком на Земле - его визиты собирали фуроры и в социалистических, и в западных странах. С этим советским человеком хотели познакомиться и японские студенты, и английская королева (и каждого из них Гагарин успел посетить в своем мировом турне).
Далее в дело вступила типичная для холодной войны практика - соревнование в каждой сфере. Рывок советской космонавтики породил ответную реакцию со стороны американских чиновников. В президентство Кеннеди американское правительство вложило баснословные суммы в развитие технического образования и научной сферы в США, чтобы наверстать отставание и быть первыми на Луне. Т.е., космическая гонка вынуждала идеологического противника тратить лишние финансы.
В дело вступила и идеология: "Что, если коммунисты первыми колонизируют Луну?", "А если американцы обложат небо своими спутниками и будут сбивать все советские самолеты?" - эти вопросы мусолились пропагандой и массовой культурой. Население двух стран было заражено космической лихорадкой - вспомните, как дети 60-70-х мечтали поголовно стать космонавтами.
Итог: космическая гонка, родившись как ответвление ВПК, своим развитием обострило соперничество США и СССР в военной, экономической и идеологической сферах. Остановиться и не развивать космическую отрасль - означало уступить в холодной войне с неизвестными долгосрочными последствиями.
Космическая гонка с одной стороны, резко продвинула технологии ракетостроения (привет, межконтинентальные баллистические ракеты с разделяемыми блоками ядерных боеголовок), а с другой сильно повлияли на массовую культуру и быт (многие привычные нам вещи пришли из космической отрасли: беспроводные устройства, тефлон, цифровые датчики, солнцезащитные очки, фильтры для воды, застежки-липучки и т.п.)