Про XVI век уже ответили, а я добавлю про XVII-й, раз попросили. Возможно, будет интересно.
Надо понимать, что челобитные тогда поступали не только в Челобитный приказ. Во-первых, существовало несколько областных приказов (Сибирский, Малороссийский, Казанского дворца и др.) — именно туда направлялись челобитья с соответствующих территорий. То же самое с некоторыми общегосударственными приказами (поместный, стрелецкий, монастырский и т.п.), куда обращались с соответствующими по теме прошениями. Во-вторых, большинство челобитных рассматривалось на более низком уровне: местными воеводами и подьячими в приказных избах. В-третьих, если была такая возможность, челобитные старались доставлять прямиком царю. Например, монастыри специально для этого отправляли в Москву своих представителей. Только вручить прошение стремились не лично царю, а его придворным (окольничим, постельничим, стольникам, боярам и прочим чинам). От того, через кого ты бьёшь чином, напрямую зависел исход дела. Дело в том, что царь быстро убирал под сукно поданные ему челобитные и забывал о них навсегда. А придворный, если хорошо попросить, мог добиться исполнения просьбы, дать делу ход (ну, или наоборот, затормозить его по каким-то причинам). Подробно об этом можно почитать в прекрасной книге П.В. Седова «Закат Московского царства. Царский двор конца XVII века» (есть в интернете, но, к сожалению, в не очень хорошем качестве). В-четвёртых, наконец, иногда били челом лично Патриарху.
Во все эти органы челобитные поступали самые разные от самых разных людей. Круг тем был фактически не объятен — от самых мелких вопросов личных прошений до вопросов регионального значения. Здесь у меня собраны самые занятные, на мой взгляд, челобитные из Верхотурской и Иркутской приказных изб.
Спасибо за ваш ответ! Очень интересные материалы по ссылке :)