Почему у многих пап римских были дети? Разве это не могло помешать их избранию?

Тут надо сразу указать, что используемая сейчас процедура избрания римских пап сложилась не сразу. Изначально ее как таковой не было, потому и требования к кандидатам могли варьироваться (им мог стать даже только что обращенный в христианство человек, не имеющий сана). Особенно если учесть, что был период, когда папу римского назначал остготские короли. Точно так же далеко не сразу сложилось требование целибата для духовенства, и отдельно - для высшего духовенства. Только в 1075 году было принято решение, что брак священнослужителя - это блудодеяние, а в 1139 году это закреплено окончательно. Соответственно до этого времени наличие детей у кандидата не обязательно могло мешать ему занять папский престол. Что же касается более позднего периода, то, формально, конечно, кандидат на место папы не должен был вступать в брак и иметь законных детей, однако наличие незаконнорожденных в таком случае еще надо доказать. Ну и, конечно, нельзя сбрасывать со счетов то, что зачастую папой выбирался не самый достойный, а тот, кто смог подкупить членов конклава, либо обладал определенной поддержкой извне. В таком случае естественно получалось, что у папы римского были как дети до вступления на престол, так и после. В некоторых случаях недостойное поведение избранного папы становилось поводом для его низложения, но опять-таки вопрос упирался в наличие поддержки со стороны.