Можно ли сказать, что историография началась с Геродота?

Нельзя. Потому что сгорела Александрийская библиотека. В Египте были у жрецов более полные данные по хронологии событий.

Но для Европы Геродот первый кто дал хронологию войн эллинов и персов (варваров). в 5 веке до нашей эры.

Я так думаю, что даже сам Геродот не смог бы уверенно ответить на этот вопрос, но, по всей видимости, и до него были люди, для которых прошлое было интереснее настоящего.

Наверное можно, но надо учитывать письменные свидетельства как египетские иероглифы, клинописные таблицы древних шумеров. Но я не претендую на то, что мой ответ Вас удовлетворит, я ведь не ученый историк.

Нет, конечно. До Геродота были те, кто вёл списки олимпиоников, начиная с 776 г. до н.э., списки спартанских царей, записи договоров между городами и т.п. Более высокая степень историографических записей началась с логографов: Кадм Милетский, Гекатей Милетский, Гелланик. И только после них пришло время Геродота. Геродот основывался уже на сложившейся историографической традиции.