"Fumetsu no Anata e" или же "Для тебя, Бессмертный". Вроде подходит по описанию, но насколько я помню, то парень спас не от камня, а от бревна. Надеюсь помог.
Описание смахивает на аниме "Комбатанты будут высланы!". Главный герой вместе с андроидом отправляется в другой мир. В целом чем-то похоже на Коносубу.
Это аниме "Унеси меня на Луну". Главный герой хотел что-то дать той девушке, и когда он перебегал дорогу его сбил грузовик, однако та девушка его спасла.
Наверное это аниме Шарлотта. У главного героя есть младшая сестра, о которой он должен заботиться будучи без родителей (вроде). И именно на его сестру напала девочка с концелярским ножом.
Я уверен, что это аниме "Сердцу хочется кричать". Когда уже обновчт приложение, чтобы можно было писать без ограничения на количество символов? Никто не знает?