Определение "сильная и независимая женщина" относят к женщинам, которые из протеста, превозмогая себя и выходя за пределы разумного, делают всё сами и не принимают помощи (от мужчин в первую очередь). Отремонтировать кран — сама, сменить колесо у машины — сама, при попытке помочь донести сумку может сказать какую-нибудь гадость.
Подоплёка у такого поведения — какая-то боль.
Но эта женщина не хочет сострадания, и окружающие это понимают. Поэтому говорят о ней с иронией, ведь это один из способов показать, что человек неправ.
При этом не сто́ит путать "сильную и независимую" (именно в кавычках) женщину со взрослой и самостоятельной. Во втором случае женщина может принять помощь, даже когда есть шанс справиться самой, а в первом во что бы то ни стало сопротивляется помощи, потому что стремится доказать свою самостоятельность.
⸻
Вижу, в другом ответе написано про манипуляцию. Да, это тоже возможно в некоторых случаях. Но манипуляция, в общем-то, возможна при любом высказывании, в том числе и при комплиментах, поэтому я бы ни в коем случае не стал обобщать, иначе мы придём к тому, что всё в мире есть манипуляция. А если всё — манипуляция, то зачем вообще нужно это слово?