Можно ли решить вопрос с УК о возвращении оплаты за квартиру именно за тот период, когда УК не имела лицензии на наш дом?

Если УК фактически осуществляла ремонт и содержание и у нее есть подписанные акты выполненных работ, то нет, НЕВОЗМОЖНО. Проблема еще в том, что если УК не была внесена в реестр лицензий в отношении Вашего дома и фактически не осуществляла никакой деятельности, то должна была быть другая УК (ТСЖ, ЖСК), которая управляла домом в этот период, соответственно эти деньги она взыщет в любом случае.