Были, и ещё как. Погоняйте в гугле теги "теория деятельности", "культурно-историческая психология" и "нейропсихология" - обогатитесь знаниями по теме.
Занимались тем же, чем и психологи прочих стран - изучали психику, законы взаимодействие сознания, переживания и поведения.
Многие обращают внимание на то, что советская психология "поражена вирусом" марксизма и диалектического материализма, и отчасти это так. С другой стороны - вполне можно в таком же духе высказываться о том, что американская психология поражена прагматизмом; философская база в гуманитарных науках (какой в значительной степени остаётся и будет оставаться психология) это неизбежно значимый компонент.
А люди обращались к ним примерно по тем же поводам, что и в наше время?
Тогда, по всей вероятности, всё было немного не так. С психологическими трудностями публика обращалась прежде всего к психиатрам; психология - это в первую очередь академическая специальность, наука то есть.