Среди запорожских, кубанских, донских казаков бывали и этнические украинцы и русские и представители других национальностей. Нужно просто понимать, что казаки, как сословие, появилось в средневековой России, как ответ на набеги на её южные границы представителей степных народностей, с целью грабежа. Казачество было оплотом и гарантом защиты от этих набегов. В казачество шли с охотой из глубинки России, чтобы освободить себя и свои семьи от крепостного гнета, а из Украины - от гнета панской Польши и навязываемой ею католичества. В обмен казаки получали земельный надел и относительные свободы, но должны были защищать русского царя и границы России. Стоит при этом упомянуть и сибирских казаков, появлявшихся в России по этим же причинам, по мере освоения Западной и Восточной Сибири
И да, и нет. Да - потому что среди казаков были украинцы, нет - потому что украинцами были не все казаки. Казачество по сути своей это сплав многих народов, казаками могли стать украинцы, поляки, русские, белорусы, различные представители тюркских и кавказских народов, да что там говорить, казаками могли даже стать чернокожие и евреи.