"Капиталист" - это левацкая "обзываловка" предпринимателя. Человек, вложивший свои деньги в производство или иную предпринимательскую деятельность (например, в торговлю) и получающий от этого доход.
"Олигарх" - это член небольшой группы лиц, формально или фактически правящей страной. В общем случае может не быть ни "капиталистом", ни сколь-нибудь богатым человеком. В РФ при Ельцине "олигархами" называли богатых людей, имеющих политическое влияние и монетаризирующих это влияние в ущерб бюджету и стране в целом. Хотя, строго говоря, олигархами можно было назвать и просто близких Ельцину лиц, способных влиять на его решения. Сейчас в РФ "олигархами" называют - безосновательно - просто очень богатых людей. Сколь-нибудь существенного политического влияния у них, как правило, нет.
Олига́рхия ... — политический режим, при котором власть сосредоточена в руках сравнительно малочисленной группы граждан (например, представителей крупного монополизированного капитала) и скорее обслуживает их личные и групповые интересы, а не интересы всех граждан. Олигархи — члены олигархии, могут либо сами быть членами правительства, либо оказывать решающее влияние на его формирование и принятие решений в своих личных и групповых интересах.
(Из Википедии)
Ничем, это по сути синонимы. Но олигарх больше подходит для больших представителей этого класса. Для тех, кто обладает не только монополией на рынке, но еще и средства для влияния на политику государства.