В первую очередь, конечно же, Рязанский Кремль. Из парков - Соборный и Нижний городской сад. Маленький местный Арбат - это улица Почтовая. Известная шутка про "в Рязани грибы с глазами" - это про городскую скульптуру, ее тоже можно посмотреть, она милая :)
В Константиново есть музей-усадьба Есенина.