Что надо делать в случае, когда купил билеты на самолёт на старый российский паспорт, а полечу с новым паспортом?

Попробуйте обратиться в кампанию от которой вы летите.

Разъясните ситуацию, думаю вам объяснят, что делать.

Главное не приходите в день полёта, в противном случае вам откажут, даже без возврата средств.