Я тоже думаю, что это вряд ли возможно. Только при прослушивании попробовать включить громкую связь и записать на диктофон. НО. Для записи звонков я использую прогу OpenCalls.me. И, если у вас андроид, попробуйте при наборе телефона для прослушивания голосовой почты, включить программу. Думаю, что она утчет это в качестве звонка и запишет. А записи разговоров она сохраняет как раз в телефон.
Включить запись всех вызовов в настройках тел.книги,при звонке на голосовую почту(чтобы прослушать сообщения поступившие вам) запись сохраниться,потом можно прослушать на телефоне.
Сообщения, оставленные на голосовую почту, хранятся на сервере оператора, вы можете получить к ним доступ только по звонку. Сохранить на телефон их нельзя, только записать аудио-файл с помощью сторонних программ.