Наверное "по правилам" демократия это политическое устройство, а республика - политическое устройство.
Но проще разделить все связанное с государством, политикой и проч. на три "ступеньки": 1)власть, 2)закон и 3)политика.
Тогда понятно, что
1) "просто" власть соответствует тоталитаризму и не нуждается в "политическом оформлении", например, такое случается на завоеванных территориях,
2) "законная власть" это авторитаризм (он же монархия,) где решения принимает один человек, но не может выходить за определенные рамки и, наконец,
3) "политическая власть" - демократия или республика, когда решения принимаются на основе мнения большинства (выборы, общественные движения, свободная информация итд.итд.).
Кстати, ту же схему можно "приложить", например, к семейной жизни, или управлению компанией.
Открываем гугл. Демократия это политическая система а форма правления это республика. А разница в том что политическая система отвечает за то как осуществляется общий контроль власти в государстве. А форма правления именно то как формируются органы власти. То есть республика может как и быть демократической так и аристократической. Это смежные но не равные понятия.