Во-первых, то о чем вы спрашиваете, называется "мощность" множества. Для множеств с конечным числом элементов мощность равна этому числу. Для множеств с бесконечным числом элементов выделяют случай, когда все элементы можно "пересчитать" (установить взаимно-однозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел). В таком случае математики говорят, что мощность множества "счетная" или просто - "счетное множество". Наконец, есть множества с бесконечным числом элементов, которые невозможно "пересчитать" (не существует взаимно-однозначных соответствий между элементами этого множества и элементами множества натуральных чисел). В таком случае говорят, что мощность множества - "континуум". В некотором смысле мощность континуум превосходит (является "больше") счетной мощности.
Во-вторых, о каких числах вы спрашиваете? Множество целых чисел в интервале [1;2] состоит из двух элементов (мощность равна двум) - единицы и двойки, а на интервале [1;3] - из трех (единицы, двойки и тройки). Здесь мощности множеств не равны друг другу .
Множества рациональных чисел (равны отношению двух целых) на обоих интервалах бесконечны и счетны, то есть их мощности равны. Доказать равенство этих мощностей можно, доказав факт счетности обоих. А можно просто подобрать взаимно-однозначное соответствие между их элементами. Таким соответствием будет, например, Y=3×X/2. Любому рациональному X из интервала [1;2] оно ставит в соответствие одно и только одно Y из [1;3] - тоже рациональное (поскольку 3 и 2 - целые, а рациональное X - это, в свою очередь, отношение двух целых). Причем ни одно рациональное Y из [1;3] не будет пропущено, так как всегда найдется рациональное X=2×Y/3 из [1;2].
Множества иррациональных чисел (непредставимы в виде периодической дроби; иррационально, например, число e=2,71828...) на обоих интервалах бесконечны и имеют мощности континуум (а не счетные). Доказать равенство этих мощностей можно, в частности, с помощью все тех же отображений Y=3×X/2 и X=2×Y/3, где X и Y - иррациональны.
Наконец, множества вещественных чисел (подмножествами которых являются множества рациональных и иррациональных) на обоих интервалах тоже бесконечны и имеют равные мощности (континуум).
UPD. Что касается тегов, то это не "алгебра", а "теория множеств". "Общество" тут тоже ни при чем.