Есть ли во вселенной объекты, по отношению к которым нельзя наблюдать эффект доплера?

Немного не так. Земля действительно не находится в центре Вселенной, а искать точку Большого взрыва сегодня, это всё равно что искать вчерашний день. Вселенная и есть та самая точка Большого взрыва (планковская эпоха), раздувшаяся до огромных размеров за 13.8 миллиардов лет своего существования.

Наша Галактика находится в местной группе галактик. Общее количество галактик составляет более 100. Местная группа галактик является гравитационно связанной системой. Галактики движутся относительно друг друга, какие-то галактики удаляются от нас, какие-то приближаются и грозят столкновением.

Если галактика приближается, то вследствие эффекта Доплера у неё будет фиолетовое смещение спектральных линий, если удаляется, то красное смещение.

Если же галактики будут двигаться параллельно друг другу, то смещение спектральных линий из-за эффекта Доплера будет отсутствовать.

Если рассматривать Вселенную в гораздо больших масштабах, например в масштабах нескольких гравитационно не связанных сверхскоплений, то эффект Доплера отходит на второй план. Галактики при этом могут обладать небольшими собственными скоростями относительно друг друга, но гораздо больший эффект будет вносить космологическое красное смещение вследствие расширения пространства Вселенной. При этом движется не галактика сквозь пространство, а увеличивается пространство между ними. Это явление отличается от эффекта Доплера. Фотон испущенный с длиной волны 380 нм, т.е. фиолетовый, за много лет перемещения в пространстве, всвязи с расширением самого пространства, увеличит длину волны до 700 нм и таким образом станет красным.

Разница между двумя этими явлениями состоит в том, что при эффекте Доплера смещение частот происходит в момент испускания и поэтому не зависит от расстояния. В случае космологического красного смещения, скорость расширения пространства изменяется по закону Хаббла между моментом испускания фотона и моментом его фиксации. Это влияет на длину волны на всем пути между излучателем и приёмником. Чем больше расстояние, тем больше будет красное смещение.