Желтоватая или зеленоватая мокрота - признак наличия бактерий. Трахеит или бронхит может быть и без температуры - я одно время громко кашляла, пугая всех на работе, но не испытывала совершенно никакого дискомфорта. Когда кашлять надоело, за пару дней вылечилась антибиотиками.
Поэтому обратитесь к врачу и начните лечение, чтобы не дошло до осложнений (воспаления легких) и не потребовались антибиотики.