Вообще, здесь надо сделать оговорку, что q<>-r, r<>-p и p<>-q, чтобы в знаменателях не возникло нулей.
А далее рассудим так: если данные дроби образуют арифметическую прогрессию, то
1/(r+p)-1/(q+r)=1/(p+q)-1/(r+p);
2/(r+p)-1/(q+r)-1/(p+q)=0
Приводя к общему знаменателю, приходим к такому равенству:
2(q+r)(p+q)-(r+p)(p+q)-(r+p)(q+r)=0
2q^2-p^2-r^2=0
Это равенство и означает, что числа p^2, q^2 и r^2 образуют арифметическую прогрессию. Доказать утверждение в обратную сторону несложно, для этого нужно всего лишь подняться по записям снизу вверх.