Является ли учение Карла Юнга частью современной психологии и психиатрии и насколько оно значимо на сегодня?

Когда-то - да, являлось, целиком и полностью. В те же времена. когда и учение его учителя Фрейда тоже считалось научным. Сейчас же, учение Юнга представляет, скорее, архивный, исторический, академический, и философский интерес, нежели,психологический. Зато, его учение об архетипах, приняла и развила псевдонаука соционика.  Псевдонаучность этого учения состоит в его необоснованности валидным массивом исследований, и сильная корреляция с Таро, астрологией и алхимией.

Однако, его (Юнга) классификация типажей персонажей - неожиданно нашла полезное применение и популярность в… волшебной сказке! Для ролевых компьютерных игр в жанре фэнтэзи, для фантастических романов. И для объяснения "пути героя" в алгоритме волшебной сказки, по Проппу и Кэмпбеллу.