Сибирь большая, из разных мест бюджет будет разный. Монголия тоже страна не маленькая, поэтому если хотите поездить по стране, то в разные места можно добираться по-разному, бюджет, соответственно, будет тоже разный.
Из Улан-Удэ самый бюджетный вариант - на автобусе до Улан-Батора. Там желательно заранее забронировать гест-хаус (у многих есть свои веб-сайты). Транспорт в УБ и еда в Монголии недорогие. Можно питаться в недорогих гуанзах/хоолны газар. Главное, смотреть, чтобы не было совсем грязно, не покупать еду на окраинах. Но в УБ можно относительно (в сравнении с Москвой) поесть в хороших индийских, китайских и корейских ресторанах (примерно за 10 долларов в индийском, в остальных даже дешевле).
Если вы хотите поездить по Монголии, то это будет значительно дороже. Самый лучший способ - найти надежных монгольских друзей или тех, у кого они есть. Иначе будете переплачивать монгольским турфирмам.
Приезжайте в Иркутск или Улан-Удэ, ищите автомобильный рынок и продавцов классических автомобилей УАЗ. Чаще всего их покупают граждане Монголии. Все что вам нужно - дождаться такого покупателя и попроситься доехать с ним до Монголии. В большинстве случаев, особенно если пообещаете разделить стоимость топлива или еды в дороге, вам не откажут.