Как доказать, что число 333 в 777 степени + 777 в 333 степени делится на 10?

Можно сразу вычислить эту сумму по модулю 10. Все приводимые ниже равенства по mod10. 333^777 + 777^333 = 3^777 + 7^333 = 3^(1+4*194) + 7^(1+4*83) = 3*(81)^194 + 7*(2401)^83 = 3*(1)^194 + 7*(1)^83 = 3*1 + 7*1 =3 + 7 = 10 = 0, т.е. данная сумма равна 0 mod10, а это и значит, что она делится на 10 нацело.