Не только у греков, но и например к древних славян не было фамилий. К слову у исландцев до сих пор нет фамилий и ведь живут себе спокойно.
Отсутствие путаницы можно объяснить двумя факторами: 1) Даже живя в полисе люди общались в относительно небольших группах где можно было запомнить каждого из участников. 2) Для придании уникальности имени можно было использовать или некое прозвище и у ряда народов эти прозвище трансформировались в фамилии. Или указывали на имя отца, так происходят патронимические имена (такие как русское отчество или арабское Ибн, означающие сын). Думаю, что для древних греков скорее был вариант с прозвищами.
Так и в наше время у каждого человека чаще всего найдется сотня-другая полных тезок, причем некоторые могут проживать в том же городе или даже жить на соседней улице)