Сохранить логотип как и любой другой файл созданный в иллюстраторе можно нажав на кнопку "сохранить".
Если вы хотите сохранить файл в другом формате, отличном от AI, то нужно выполнить "экспорт" или "Сохранить как" после чего выбрать нужный вам формат. Тут стоит понимать что форматы бывают двух принципиальных типов: векторные (собсивенно для этого иллюстратор и создан) и растровые (обычные jpeg, gif, png и пр.). Какой формат вам нужен зависит от цели использования изображения в дальнейшем. Если речь идёт о логотипе для сайта, то можносохранить и в растровом PNG и в векторном svg (предпочтительнее). Усли речь о полиграфии, то лучше выбрать векторный формат EPS.