Если не вдаваться в теоретические и исторические тонкости, о предложном и местном падежах в современном русском языке говорят в следующей ситуации.
В совр. русском, как известно, предложный падеж, в отличие от других падежей, употребляется только после предлогов, поэтому - предложный.
Предложного падежа требуют предлоги О, ПРИ, В, НА:
о школе, при школе, в школе, на школе
Однако некоторые существительные после предлога О, с одной стороны, и В/НА, с другой, выступают в разных формах, ср.:
о лесе и в лесу
о береге и на берегу
о рае и в раю
Таких слов не очень много (не более сотни), но они часто употребляются в обычной речи.
Эти пары форм необходимо как-то различать, поскольку они часто не взаимозаменимы: *о лесу, *о берегу, *о раю и *в лесе, * в береге, *в рае.
Для этого в случае о лесе, о береге, о рае некоторые грамматисты говорят или просто о "предложном", или о "предложном изъяснительном", а в случае в лесу, на берегу, в раю - о "местном" падеже существительных лес, берег, рай.
В дореволюционных грамматиках русского языка - термин "местный падеж" означал точно то же самое, что сейчас "предложный" . Только о "местном падеже" говорят и применительно к древнерусским памятникам. Так что "предложный" (или предложный 1-ый) и "местный" (предложный 2-ой) падежи сосуществуют только в некоторых современных грамматиках. (Например, А. А. Зализняк Грамматический словарь русского языка)