Откуда изначально взялся сам термин "татары" - неплохо дали первые ответы. Но тут надо бы вспомнить дальнейшее развитие Золотой Орды. Это же была огромная империя, простиравшаяся на западе от Крыма, и юго-восточных территорий Украины до Кавказа и Средней Азии на юге, и Западной Сибири на Востоке. Спрашивается: как она вообще могла существовать, и не развалиться сразу же? А потому что существовали объединяющие факторы, свойственные именно Улусу Джучи (у остальных бывших территорий Монгольской империи также были свои):
На протяжении всей территории Золотой Орды жили тюркские народы. Кочевые, или недавно таковыми бывшие. Различия в языке у большинства были некритичны; так что они были в основном взаимопонимаемы. В качестве языка общения и официального использовался, в разных вариантах, старотюркский язык, или тюрки. Который худо-бедно могли понять и половцы (основные предки крымских татар); и предки узбеков; и булгары с Поволжья; и те тюрки, что осели на Кавказе и т.д.
Да, как у кочевников, у огромной части населения коренных противоречий, как таковых, с монголами не существовало. Они отлично вписались в монгольскую боевую машину. Монголы же изначально составляли меньшинство. Достаточно быстро они ассимилировались среди окружающего тюркского населения.
Вскоре в качестве официальной религии был принят ислам. Это укрепило симпатии к стране оказавшихся на территории З.О. тюрок-мусульман с Поволжья и из Средней Азии. Их культура, и социально-экономический уклад были неким цементирующим фактором. И позволили одновременно развиваться многим неоседлым народам.
В Улусе Джучи жили и нетюркские и немусульманские народы. Скажем, многочисленные финно-угорские, или те, что жили на Северном Кавказе. Но именно тюрок, исповедовавших ислам (как кочевых, так и оседлых) в таковой империи почти всё устраивало; они в итоге стали её воспринимать как "своё" государство, и поддерживать и охранять его. Определённую их общность создать в рамках такой империи удалось.
Для русича XIII-XV веков, между тем, особой разницы между монголами и тюрками не существовало. Были просто те злыдни восточной внешности, говорящие на непонятном языке, что на конях приезжали собирать дань, и периодически устраивали набеги. Он продолжал называть их тем словом, под каким о монголах изначально в ужасе прошла информация по всем окружающим странам.
После того, как Золотая Орда всё-таки распалась, для русского человека тюрки на конях, исповедующие ислам, с которыми приходилось сражаться по мере одоления очередного ханства, всё одно были "татары". Тем более, что и из Крыма, и из Западной Сибири действительно появлялись всадники, верящие в Аллаха, говорящие на диалектах неотличимых для славянского уха. А потом, по мере расширения страны, и создания Российской Империи, правило распространилось почти на все тюркские народы. Роман написал: "В общем, "татары" в русском языке это примерно как "немцы" (те, что не говорят на понятном языке, сиречь "немые", неспособные говорить по-человечески), это не название какого-то конкретного народа, а общий термин для "чужих", кочевых и полукочевых племен откуда-то с Востока". - но ведь татарами называли, к примеру, и совсем не кочевых азербайджанцев - "закавказские татары". (Это то, что выносит мозг во время чтения художественной литературы XIX века, связанной с Кавказом). Карачаевцев - "горскими татарами", ногайцев - "ногайскими татарами", хакасов - "абаканскими татарами" и т.д. В повести "Очарованный странник" у Н.Лескова под татарами подразумеваются казахи. Даже при том, что мало кто из них самих себя так называл, а различия между, скажем, карачаевцами и чулымцами - огромны.
Исторически сложилось, что несколько народов всё-таки восприняло слово как официальное название этноса: поволжские татары, крымские татары, и сибирские татары. И то, это окончательно произошло лишь в XX веке.
Так что изначально, можно сказать, что когда монголы только вторглись на территорию русских княжеств, татар ни в изначальном (истреблённое монгольское племя), ни в последующем смыслах среди них не было. Но когда появилось государство Улус Джучи - Золотая Орда, через которое, прежде всего, и осуществлялось так называемое иго, татарами очень быстро там стало большинство населения.