Бабай -- персонаж славянского фольклора, злой старик, которым пугают непослушных детей. Происходит от татарского слова бабай -- "старик, дед".
"Ёкарный" (вариант: "ёханый") -- это очевидный эвфемизм слова "ёбаный". Подобная эвфемизация санкционирует произнесение фразеологизма в широком спектре коммуникативных ситуаций, в которых мат табуирован.
Таким образом, в целом выражение "ёкарный (ёханый) бабай" является восклицанием междометного характера (ср. ёшкин кот, ёлки-палки, ёперный театр, ёклмн и т.д.), заменяющим в речи более грубые (матерные) выражения, также начинающиеся на "ё".
Пожалуй, всё.
Разве что на десерт -- переделка известной бардовской песни ("Солнышко лесное") с упоминанием сабжа:
В детстве маманя пугала меня Бабаём,
"В лес, -- говорит, -- не ходи ни одна, ни вдвоём!
Выскочит вдруг злой Бабай и потащит в кровать..."
Мы побежали с подружкой Бабая искать!!!
Ёкарный Бабай, чудище лесное,
Где, в каких краях, встретимся с тобою?
И т.д.
)))))
Ехорный бабай это главный шаман горы Ехор на Байкале! Там проходят шаманские обряды. Смотрите энциклопедию" Вокруг Байкала!"