Не мог, конечно. Да и вообще никто не мог. Рим оставался республикой, и вся власть Цезаря строилась на республиканской основе: он был диктатором (с февраля 44 года до н.э. – постоянным, perpetuus). Ходили упорные слухи (которые, вероятно, имели под собой реальную основу) о желании Цезаря принять царский титул, однако, во-первых, этого так и не произошло, а во-вторых римский царь (rex) не был абсолютным монархом в духе абсолютизма XVII века. Приход к власти царя был возможен с согласия сената и народа, как о том свидетельствует древнейшая практика. Можно спекулировать о стремлении Цезаря установить монархию в эллинистическом духе, однако мы имеем то, что имеем.
Таким образом, 15 марта 44 года до н.э. погиб диктатор Цезарь. После него осталось множество должностных лиц, которые имели право возглавить римское государство. Консулом 44 года до н.э. был Марк Антоний, начальником конницы (заместителем диктатора Цезаря) – Лепид; претуру исполняли Брут и Кассий (!); наконец, существовал сенат с первоприсутствующим (princeps) Сервилием Исавриком. Тот факт, что Цезарь сделал юного Гая Октавия своим наследником, следует воспринимать проще. Вот, что пишет об этом завещании Светоний: Sed novissimo testamento tres instituit heredes sororum nepotes, Gaium Octavium ex dodrante, et Lucium Pinarium et Quintum Pedium ex quadrante reliquo[s]; in ima cera Gaium Octavium etiam in familiam nomenque adoptavit (Согласно последнему завещанию он назначил в качестве наследников трех внуков [своих] сестер, [а именно] Гая Октавия с тремя четвертями [имущества], Луция Пинария и Квинта Педия с четвертью [имущества]; в конце доски (т.е. того, на чем было написано завещание – И.М.) Гая Октавия он принял в семью и именование – Suet., Iul., 83, 2). Т.е. речь шла не о политическом завещании (которое, если и было, то могло носить неформальный характер), а о завещании конкретного гражданина. Другое дело, что в условиях краха классического римского республиканского строя такое указание Цезаря должно было восприниматься как передача auctoriatas. Цезарь дал Октавию старт, но добиваться всего он должен был сам. Это что касается прав наследования власти.
Касательно же Цезариона следует отметить, что он вдвойне не мог рассматриваться в качестве наследника (хотя бы даже идейного), т.к. не имел к Цезарю никакого отношения. Антоний заверял сенат, что Цезарь якобы считал указанного Цезариона сыном, ссылаясь на друзей Цезаря и, в частности, Гая Оппия, однако Светоний отмечает, что Оппий в специальной книге писал, что Цезарион к Цезарю отношения не имеет (Suet., Iul., 52, 2). Нелишним будет отметить и тот факт, что Цезарион был рожден Клеопатрой, царицей Египта, т.е. не супругой римского гражданина. Статус Цезариона мог бы изменить какой-нибудь экстраординарный закон Цезаря, однако никакого распоряжения на этот счет Цезарь не сделал.