Насколько важно знать математику программисту? И в чем ее основное применение, если она не всегда требуется в написании кода?

Важно. Как минимум, для того, чтобы простые математические операции не вызывали у программиста стопор, в процессе написания логики кода, а как максимум в процессе программирования приходится осуществлять обработку изображений, перемещения элементов в рамках системы координат и делать это в относительных величинах, а не в абсолютных координатах.

Без математики код написать невозможно по определению. В коде содержатся числа, переменные, арифметические и логические операции, функции. А это всё математические понятия.