Да.
Берем произвольное множество, содержащее минимальное число из пересечения. Из исходного набора собственных подмножеств выбранного множества не более чем счетно. Далее, пар множеств, разность которых собственное подмножество выбранного множества не более чем счетно. Убираем их исходного набора эти множества, потом их из оставшихся множеств убираем пересечение с выбранным - после этой операции все множества останутся различными. Повторяем с оставшимся набором то же самое - минимальный элемент при каждой следующей операции будет строго больше.
Получаем, что исходный набор разбивается на счетное объединеие счетных множеств, сам является счетным.