Не скажу точно, когда слово "бабки" стало употребляться в значении "деньги", но во второй трети 19-го века такое значение у него уже было. Во всяком случае, в воровском жаргоне. Его можно встретить, например, в "Петербургском дворнике" В. И. Даля (1844): "Григорий отвечал преспокойно: "Бабки, веснухи да лепень", то есть деньги, часы да платок".
По своему происхождению такое значение, скорее всего, связано с игрой в бабки, где бабками назывались косточки надкопытного сустава, использовавшиеся в качестве инвентаря для игры. Как сообщает словарь Брокгауза и Ефрона:
"Бабка (phalanx рrimа) — есть первый сустав или фаланг пальца жвачных животных (быка, овцы, козы и проч.). Эта кость служит для игры в бабки".
"Бабки — любимая народная игра, представляющая разные видоизменения: кон, катошки и пр., причем различными способами разставляются самые Б. из надкопытных костей".
В общих чертах суть игры сводится к сбиванию расставленных бабок метким броском другой, более крупной, бабки (похоже на городки). Победитель получал сбитые бабки, а проигравшие при желании могли их у него выкупить или выменять. В целом, бабки были популярным предметом обмена и торга, откуда и могла возникнуть их ассоциация с деньгами. Вот, например, персонаж пьесы Петра Плавильщикова "Бобыль" (1790) и заядлый игрок в бабки Аксен обращается к своему отцу:
"ребята все мои бабки расхватали <...> где мне бабок-та взять? Ведь ты не купишь?"
Это всё заодно объясняет и происхождение таких выражений, как "сшибать бабки", "зашибать бабки". См. человек на картине Владимира Маковского "Игра в бабки" (1870) готовится сшибать бабки (в руке у него крупная бабка, а мелкие расставлены рядком в левой части картины):
