Этот заговор существует только ради второй части: "...у ребеночка (подставить имя) не боли!". Просто кошки и собаки воспринимались (и воспринимаются) как существа намного менее ценные. Их не так жалко, если у них болит.
Этот заговор существует во множестве форм, где совершенно не обязательно упоминаются кошки и собаки. Моя мама, например, говорила: "У волка боли, у лисицы боли..."
Есть и совсем другие варианты таких заговоров: "Уйди, хворь, на сухой лес..." - их очень-очень много.
У нас говорили «У сороки боли, у вороны боли, у (имя) заживи».